Problemas de la 24 Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Ramón no me mandó los problemas (:(), pero los encontré en el facebook de alguien (las gracias le sean dadas --atacho pantallazos). Los problemas son éstos (capturados a latex, mañana los incorporo a la sección de problemas):

Encuentra todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ que cumplan la ecuación $abc=a+b+c+1$.

En cada casilla de un tablero $n\times n$hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos n focos prendidos.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $A$. Se traza una recta tangente a $C_1$ en $B$ y secante a $C_2$ en $C$ y $D$; luego se prolonga el segmento $AB$ hasta intersecar a $C_2$ en un punto $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $CD$ sobre $C_2$ que no contiene a $E$ y sea $H$ la intersección de $BF$ con $C_2$. Muestra que $CD,AF$ y $EH$ son concurrentes.

Sea n un entero positivo. En una cuadrícula $n\times 4$, cada renglón es igual a 

 

2010

 

Un cambio es tomar tres casillas

a)consecutivas en el mismo renglón y

b) con dígitos distintos escritos en ellas

y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera

 

0-->1, 1-->2, 2-->0

 

Por ejemplo, un renglón 2010 puede cambiar al renglón 0120 pero no al renglón 2121 pues 0,1 y 0 no son distintos entre sí.

 

Los cambios se pueden aplicar cuantas veces se quiera, aún en renglones ya cambiados.

Muestra que para $n<12$ no es posible hacer un número finito de cambios de forma que la suma de los números en cada una de las cuatro columnas sea la misma.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. La circunferencia que pasa por $B,H$ y $C$ corta a la mediana $AM$ en $N$. Muestra que $\angle{ANH}=90$.

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)3$ divide a 

$$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$

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