4. Hallar todas las funciones $f:Z\rightarrow Z$ que cumplen la siguiente igualdad:
$$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).$$
para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$
($Z$ denota el conjunto de los números enteros.)
5. Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle{BCA}=90$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto del segmento $AX$ tal que $BK=BC$. Análogamente, sea $L$ el punto del segmento $BX$ tal que $AL=AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Demostrar que $MK=ML$
6. Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2\ldots,a_n$ tales que
$$\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1$$
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | 2012_eng.pdf | Todos los problemas de la 53 IMO 2012 (Mar del Plata, Arg.) | 206.68 KB |
Solución del 4 (hay que darle
Solución del 4 (hay que darle descargar, desde dropbox no se ve)
https://www.dropbox.com/s/2t1z25cjy3x2gz3/IMO%202012%20-%204.pdf
En particular este problema no me gustó para problema 4, ya que es muy talachudo. Aparte es demasiado facil equivocarse y no darte cuenta de una de las soluciones de la ecuación funcional.
Muchas gracias por
Muchas gracias por compartirnos tan completa demostración. Fue un gusto leer lo que escribiste. Está muy completo y detallado. ¿Te molestaría si copiamos lo que hiciste y lo ponemos aquí en Matetam?
Te comento que también resolví este problema. De verdad que fue latoso, y fue una sorpresa encontrarme con esos dos casos excepcionales de funciones definidas por partes.
Mi solución es algo parecida a la tuya, bueno, yo hago unas sustituciones que me terminaron haciendo la vida más latosa.
Yo parto de transformas la identidad en: $$(f(a) + f(b) - f(c))^2 = 4f(a)f(b)$$
De aquí se sigue que $f(a)f(b)$ es un cuadrado perfecto. Entonces, todos los elementos en la imagen de $f$ tienen la misma parte no cuadrática (todo entero positivo se puede escribir de manera úncia como el producto de un número libre de cuadrados por un cuadrado perfecto, al libre de cuadrados es al que llamo parte no cuadrática ).
Pues cancelando la parte no cuadrática, que es constante en $f$ y arreglándoselas con el signo, podemos demostrar que existe $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ y una constante $k \in \mathbb{Z}$ tal que $f(x) = kg(x)^2$ para todo entero $x \in \mathbb{Z}$.
Aprovechando esta descomposición, la condición que satisfacerá $g(x)$ es: $$g(a)^4 + g(b)^4 + g(c)^4 = 2g(a)^2g(b)^2 + 2g(b)^2g(c)^2 + g(c)^2g(a)^2$$
Esta expresión, se puede factorizar en: $$(g(a)+g(b)+g(c))(g(a)+g(b)-g(c))(g(a)+g(c)-g(b))(g(b)+g(c)-g(a))=0$$
A partir de aquí, tuve que hacer un análisis muy similar al tuyo, pero desgraciadmente no fue más simple.
Saludos y gracias
Adelante, pueden usarlo :)
Adelante, pueden usarlo :)
Al parecer, checar que las
Al parecer, checar que las soluciones cumplen vale dos puntos. Aunque escuche que cambiaron el criterio y van volver a coordinar muchos paises en este problema. Sigo pensando que este problema fue una mala elección, y que tengan que cambiar el criterio simplemente confirma lo que pienso.