XI Concurso Regional del Noreste de la OMM

Problema

Números norteños

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 13:24.

Un entero positivo $N$ es norteño si para cada dígito $d >0$, existe un divisor de $N$ cuyo último dígito es $d$. ¿Cuántos números norteños menores que 2016 hay que tengan la menor cantidad posible de divisores?

Problema

Tercia de reales

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 13:19.

Encuentra todas las ternas de reales $(a,b,c)$ tales que $$ a- \frac{1}{b} = b - \frac{1}{c} = c - \frac{1}{a}$$

Problema

Punto exterior a un cuadrado

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 13:11.

Sea $ABCD$ un cuadrado. P un punto sobre la semicircunferencia de diámetro AB exterior al cuadrado. Sean M y N las intersecciones de PD y PC con AB, respectivamente. Demuestra que $MN^2 = AM \cdot BN$

Problema

Cuadritos unitarios distanciados

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 15:42.

Considera un tablero de $n \times n$, con $n \geq 5$. Dos cuadritos unitarios se dice que son distanciados  si no se encuentran en el mismo renglón ni en renglones consecutivos y tampoco en la misma columna ni en columnas consecutivas. Se toman 3 rectángulos con vértices y lados  sobre los puntos y lineas del tablero de manera que si dos cuadritos unitarios pertencen a distintos rectángulos entonces son distanciados . ¿De cuántas maneras es posible hacer esto?

Problema

Cíclico dentro de un isóceles

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 15:36.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ de gravicentro $G$. $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente y $O$ el circuncentro del trángulo $BCN$. Muestra que $MBOG$ es un cuadrilátero cíclico.

Problema

Suma de cubos igual a 2016

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 15:33.

Determina si existen alguna terna de enteros no negativos, no necesariamente distintos, $(a,b,c)$ tales que:

$$a^3 + b^3 + c^3 =2016$$ 

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