En el triángulo $ABC$, el ángulo $BAC$ mide 60 grados. La bisectriz del ángulo $ABC$ corta al lado $AC$ en $X$ y la bisectriz del ángulo $BCA$ corta al lado $AB$ en $Y$. Demuestra que si $I$ es el incentro del triángulo $ABC$, entonces $IX=IY$
En el triángulo $ABC$, el ángulo $BAC$ mide 60 grados. La bisectriz del ángulo $ABC$ corta al lado $AC$ en $X$ y la bisectriz del ángulo $BCA$ corta al lado $AB$ en $Y$. Demuestra que si $I$ es el incentro del triángulo $ABC$, entonces $IX=IY$
Por ser bisectrices tengo
Por ser bisectrices tengo que:
ang.BCI= ang.ICX= m
ang.ABI= ang.IBC=n
pero como BAC= 60° => 2m+2n=120° => m+n=60° => ang. BIC=120° = ang. YIX, pero como BAC=60° => cuadrilatero XAYI sea ciclico (angulos opuestos suman 180°). Trazo los segmentos XY y la bisectriz del ang. A( va a pasar por i, ya que i es incentro), entonces sera tambien el segmento AI, gracias a esto tengo que:
ang. XAI= ang. IAX = 30° (por ser IA bisectriz), por ser XAYI ciclico => ang. XAI= ang. XYI=30°(por tener el mismo arco) y el ang. IAY= ang. IXY=30°, y como ang. XYI= ang. IXY => triangulo XYI sea isosceles => IX=IY Lo que se queria demostrar.
SALUDOS A TODOS. :)
Luis German Diaz Zuñiga CBTis 105, Altamira, Tamps.
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