Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Juego con una bolsa de 2022 piedras

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:11.

Julieta y Edwin juegan al siguiente juego. Se empieza con una bolsa que contiene 2022 piedras. Se juega por turnos alternados y cada jugador puede hacer lo siguiente:

  • Si el número de piedras en la bolsa es par, el jugador puede tomar una piedra o la mitad de las piedras.
  • Si el número de la bolsa es impar, tiene que tomar una sola piedra.

Gana quien tome la última piedra. Julieta empieza el juego. 

Determina quién tiene una estrategia ganadora y explícala.

Problema

Mesa hexagonal con mantel rectangular

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:06.

Carlos tiene una mesa en forma de hexágono regular y un mantel rectangular con área 2022 que cubre un rectángulo de la mesa formado por exactamente dos lados paralelos de la mesa como bases del rectángulo. ¿Cuál es el área de la mesa?

Problema

El difícil de la segunda ronda (el 4)

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:02.

Tenemos 16 mosaicos que tienen dos cuartos de circunferencia centradas en esquinas opuestas cuyo radio es la mitad del lado de la baldosa como se muestra:

Problema

Pon a prueba tu vista

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 16:55.

En el trapecio ABCD de bases AB y CD, las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí. Los Segmentos AB y BD miden 20 m y 17 m respectivamente. El área del triángulo ABD es 102 m2. ¿Cuántos metros mide el lado CD?

Problema

El número de Belmaris

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 16:50.

André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?

Problema

Las prendas de Mauricio

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 16:45.

Mauricio se está probando ropa en una tienda. Está indeciso entre 4 camisas, 7 suéteres, 3 sudaderas y 3 pantalones, todos estos artículos distintos. Comprará exactamente 3 artículos, todos de diferentes tipos (es decir, no dos camisas y un suéter o tres pantalones, etc.). ¿De cuántas formas Mauricio podrá hacer sus compras?

Problema

Problema 4. 21a OMM Final Estatal

Enviado por vmp el 2 de Agosto de 2022 - 15:02.

Dos personas A y B van a jugar un juego alternando turnos; A toma el primer turno. Para el juego está dibujada sobre un papel una cuadrícula de 7 × 7. En cada turno se borran algunos de los cuadritos como sigue: El jugador en turno escoge un cuadrito y borra toda la columna y el renglón a los que pertenece ese cuadrito dentro de la porción rectangular donde está en ese momento el cuadrito. Por ejemplo, si al principio A escoge
el cuadrito marcado con 1 en la figura (a) de abajo, a B le queda la figura (b) y, si él escoge el cuadrito marcado con 2, entonces para el siguiente turno a A le queda la figura (c).

Problema

Problema 3. 21a OMM Final Estatal

Enviado por vmp el 26 de Julio de 2022 - 14:24.

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.

Problema

Práctica de módulos

Enviado por vmp el 25 de Julio de 2022 - 08:40.
Prueba que no existe entero $n$ tal que la suma de los dígitos de $n^2$ es $2022$
Problema

Problema 4 - IMO 2022 - Un cíclico a partir de un pentágono

Enviado por jesus el 20 de Julio de 2022 - 10:19.
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$ , $B$, $A$, $Q$ aparecen sobre su recta en ese orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$, $S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos P , S, Q, R están en una misma circunferencia
Problema

Problema 5 - IMO 2022 - Redacción corta pero peligrosa

Enviado por Samuel Elias el 14 de Julio de 2022 - 19:38.

Hallar todas las ternas (a,b,p) de números enteros positivos con p primo que satisfacen

ap = b! + p

Problema

Típica probabilidad de dados y monedas

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:36.

Se va a lanzar al mismo tiempo un dado con los números del 1 al 6 y una moneda con los números 1 y 2. ¿Cuál es la probabilidad que la multiplicación de los números que caigan en la moneda y el dado sea un número impar? 

Problema

Hexágono dentro de triángulos equilateros.

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:34.

La siguiente figura está formada por 6 triángulos iguales de lado igual al doble del lado del hexágono central. ¿Qué fracción de la figura completa representa el hexágono central?

Problema

Ten cuidado con las salsas

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:31.

El siguiente cuadrado tenía los números del 1 al 9 escritos en él, pero se manchó con catsup y ahora se ve así. Por suerte sabemos que la suma de los vecinos del 9 era 15. ¿Cuál es la suma de los vecinos del 8?
Nota: Dos números se consideran vecinos si los cuadrados en los que están escritos comparten un lado.


 

Problema

Problema técnico de primos

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:27.

Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.

Problema

Torneo de Ping Pong

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:24.

En una escuela hubo un torneo de Ping Pong. La escuela cuenta con 2 mesas para jugar y en total hubo 6 partidos. Los partidos duraron 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos y es posible comenzar un partido justo al terminar el anterior. Si el torneo comenzó a las 9:00 de la mañana, ¿a qué hora es lo más temprano que pudo terminar el torneo?

Problema

Los favoritos de Claudia

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:19.

Claudia escribe una lista de sus 11 números favoritos más pequeños. El primero es el 5 y el tercero es 13, además, se dió cuenta que todos los números excepto el primero y el último resultan ser el promedio de los dos números que tiene a lado. ¿Cuál es el último número de su lista?

Problema

Uno imposible de un octágono

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:17.

El área total del siguiente octágono es de 2022 cm2, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Problema

Multiplica las fechas

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:12.

En una fecha escrita de la forma aa/mm/yy o a/m/yy se multiplican los digitos usados para escribirlas, por ejemplo 24/12/22 da 2x4x1x2x2x2=64 o 5/8/22 da 5x8x2x2=160. ¿Cuántas fechas de la década de los 2020's cumplen que la multiplicación de los dígitos da 120?

Problema

Suelo con mosaicos

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:05.

Un suelo se va a llenar con mosaicos como el siguiente, formado por mosaicos cafés más pequeños como los mostrados en la figura. El área blanca se llenará con mosaicos azules del mismo tamaño que el café. Al llenarse todo el suelo se utilizaron 192 cafés, ¿cuántos mosaicos azules fueron necesarios?