El problema se deja modelar con el siguiente sistema de congruencias :
$n \equiv 2 \pmod{3}$
$n \equiv 3 \pmod{4}$
$n \equiv 0 \pmod{5}$
Vamos a descomponer el problema en tres subproblemas y, al final, sumamos las soluciones. Se trata del método chino del residuo. En cada subproblema en que lo vamos a descomponer se busca un número tal que… bueno, mejor primero vean el procedimiento y verifiquen que el método funciona y saquen sus propias conclusiones sobre él:
Inicia el método del residuo chino
Primer subproblema: encontrar un múltiplo de 12 (de 4 y de 3, los dos primeros módulos) que también sea múltiplo de 5.
Primer número=0 (se obtiene de inmediato, pero también puede considerarse el 60.)
Segundo subproblema: encontrar un múltiplo de 20 (de 4 y de 5) que deje 2 al dividirlo entre 3.
20, 40, 60,… (el 20 cumple, pero tomemos el 80 que también cumple, para ilustrar que no afecta la solución final)
Segundo número=80
Tercer subproblema: encontrar un número múltiplo de 15 que deje 3 al dividirlo entre 4.
15, 30, 45, 60, 75, 90,… (el 15 cumple… y el 75=72+3…)
Tercer número=15.
Solución sin considerar capicúa: n=0+80+15=95. El lector haría bien en verificar que 95 cumple el sistema de congruencias.
(Pero también cumplen todos los números de la forma n=95+60k, con k entero. Nótese que 60 es el producto de los módulos. Nótese también que la solución general más básica es n=35+60k, la cual hubiera surgido si tomamos los números 0, 20, 15.)
Solución mínima sin considerar capicúa: n=35
Fin del método chino del residuo.
Búsqueda de un capicúa que cumpla:
0, 60, 120, 180, 240, 300,360, 420,…
95,155, 215, 275, 335, 395,455,515,… (el 515 cumple y no hay ninguno menor)
Respuesta a la primera parte de la pregunta: 515.
Comprobación: claramente es capicúa, es múltiplo de 5, y 515/3=151+2/3, 515/4=128+3/4.
Búsqueda de un método para transformar el 515 manteniendo lo capicúa y la forma n=95+60k.
Si vamos a demostrar infinitos necesitamos una “semilla”. Una idea sugerida por la noción de capicúa es insertar un dígito (o más) a cada lado del 1 de 515: 5a1a5. Eso mantendría lo capicúa. Pero debemos mantener también la forma n=95+60k. Ahora bien, n-95=60k=3(4)(5). Es decir, n-95 debe ser múltiplo de 5, de 4 y de 3. Vamos a intentar algunos dígitos:
50105
….-95
50010
Ahora dividimos 50010 entre 60 y vemos que no cumple.
41115
….-95
41020
Tampoco cumple.
Después de experimentar un poco más tiene que hacerse presente la idea de que este método es muy largo y necesitamos otro. ¿Hay otro? Sí. La divisibilidad entre 60 la podemos controlar con la divisibilidad independiente entre 3, 4 y 5. La de 5 es automática, la del 4 se controla por las dos últimas cifras, y la del 3 con la suma de dígitos. ¡Gran idea!
5a1a5
….-95
5a0(a+1)0
Por tanto a+1 (según el criterio del 4) debe ser 2, 4, 6, 8; y 5+2a+1=6+2a=2(3+a)=múltiplo de 3. Pero entonces a tiene que ser 0 o 3 o 6 o 9. Es decir, a=1,3,5,7 y a=0,3,6,9. Así el único dígito que podemos insertar es el 3. Entonces, 53135 debe ser la semilla. Insertemos otro 3:
5331335
…….-95
5331240
Y ahora otro:
533313335
………..-95
533313240
Claramente, de acuerdo a este patrón, la divisibilidad entre 5 y 4 está asegurada si insertamos el dígito 3 a cada lado del 1 el mismo número de veces. ¿Y la divisibilidad entre 3? Para asegurar la divisibilidad entre 3 sólo tenemos que verificar que la suma de dígitos es múltiplo de 3. Pero ello se hace evidente al observar que (después de ignorar los dígitos 3) el 5 del principio (que siempre va a permanecer) y el 1 del centro (que tampoco se modifica) suman 6, y el número termina siempre en 240, cuyos dígitos suman también 6. En resumen, la suma de dígitos es 12 + múltiplo de 3. Por tanto, la inserción del mismo número de dígitos a cada lado del 1 de 515, mantiene lo capicúa y la forma 95+60k. Queda demostrado que hay infinitos capicúas que cumplen las condiciones del enunciado.
Nota: este problema es el 2 del concurso nacional de la OMM, 1991.
Los saluda jmd
PD: Un ejercicio para el lector: resolver de nuevo con la solución general n=35+60k, la cual simplifica la demostración de que al insertar el mismo número de dígitos 3 a cada lado del 1 se mantiene la condición de capicúa y las condiciones del sistema de congruencias.
PD2: El método usado arriba para resolver un sistema de congruencias está en la base de la demostración del teorema chino del residuo. Seguramente también se puede resolver con fuerza bruta pero cualquiera se desanima ante la perspectiva de probar la sucesión 5, 10, 15,… por sus residuos al dividir entre 4 y entre 3… si bien, la tenacidad del concursante se vería premiada en el intento 7 (35=5*7). Pero todavía faltaría ver que la solución general es de la forma n=95+60k o 35+60k… casi obligatoria para la segunda parte el problema…
