r,r+p,r+2p primos , r=?

Primero veamos que si queremos que si nuestro primo (que nombraremos q) sea par, entonces debe ser posible encontrar parejas de primos donde ambos sean de la misma paridad, para que su suma y diferencia nos dé un resultado par. Es posible encontrar un primo par q que sea diferencia de dos primos (el único es el 2, y se pueden tomar dos primos consecutivos), pero ninguna de esas parejas nos dará como suma al 2, debido a que la suma mínima posible de dos primos de misma paridad (claramente distintos) es 3+5=8. 

Entonces los dos primos en cada pareja no pueden tener la misma paridad. Como uno de los primos debe ser par, ése debe ser igual a 2. El otro primo lo nombraremos p y r. Queremos encontrar todos los primos q que se puedan escribir como diferencia y suma de dos primos, con sus respectivas parejas (2,p) y (2,r). Claramente los primos q que buscamos son impares. Se tiene la igualdad 2+p=q y r-2=q.

Todos los primos son de la forma 6k+1 ó 6k+5.  Si q es de la forma 6k+1, se tiene que p es de la forma 6k+3 y que r es de la forma 6k+5. Aquí, el único primo que es de la forma 6k+3 es el 3, con lo cual q=2+p=2+3=5. De la segunda igualdad se tiene que r=2+q, de donde r=7, el cual es también un primo. Entonces este caso si es posible.

Si q es de la forma 6k+5, p es de la forma 6k+1 y r es de la forma 6k+3. El único primo de la forma 6k+3 es el 3, entonces de la segunda igualdad se tiene q=r-2=3-2=1 pero el 1 no es primo. Entonces ningún primo de la forma 6k+5 puede escribirse como diferencia de dos primos, con lo cual no puede cumplirse las condiciones del problema.

Entonces el único primo q que puede escribirse como suma de dos primos y diferencia de dos es el 5, con las respectivas parejas (2,3) y (2,7).
 

Excelente argumento Fernando, muy detallado, muy didáctico.

Te saluda y te da las gracias

El argumento que usé es bastante parecido hasta "Se tiene la igualdad 2+p=q y r-2=q.". Sólo que de aquí, yo hice r-2=2+p, r=p+4. Luego tenemos 3 primos: p,q=p+2, r=p+4. Es decir, p, q, r son 3 primos distintos de diferencia 2, pero es un hecho conocido que la unica progresión aritmética de primos de diferencia dos es 3, 5, 7 (es fácil afirmarlo pues en toda progresión aritmética de diferencia 2 por residuos mod 3 uno debe ser multiplo de 3, y para que sean primos, uno debe ser 3...). Luego directamente p=3, q=5, r=7. Luego 5 es el único primo que puede escribirse como suma, 3+2=5, y diferencia, 7-2=5, de dos primos.